​球的体积与表面积之怪异的数字

球的体积与表面积之怪异的数字

球的体积=4/3πR^3

球的表面积=4πR^2

看到这两个公式，先不要忙着记忆。大胆问出心中疑问，才是学习知识的核心：为什么会出现4/3和4？

最常用的证明方法是分割→极限→求和。能理解，却不容易普及证明方法。接下来我用阿基米德的方法来证明球的体积与表面积。这里需要介绍圆柱容球定理，用定理证明球的相关公式极为方便。

圆柱容球定理：在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二。

即：

球的体积=2/3圆柱体积=2/3×底面积×高=2/3×πr^2×2r=4/3πr^3

球的表面积=2/3圆柱表面积=2/3×（两个底面积+侧面积）=2/3×（两个底面积+底面周长×高）=2/3×（2×π×r^2+π×2r×2r）=2/3×6πr^2=4πr^2

这样，用圆柱容球就解决了球的公式中奇怪数字的来源。

既然有圆柱容球，那有没有圆台容球，圆锥容球呢？有的，这里不赘述证明，仅仅展示结论。

圆台容球：

球的体积≤2/3圆台体积

球的表面积≤2/3圆台表面积

圆锥容球：

球的体积≤1/2圆锥体积

球的表面积≤1/2圆锥表面积

以及球缺容球

球的体积≤1/4球缺体积

球的表面积≤1/4球缺表面积

以上，我们既证明了奇怪数字的由来，也拓展了类似定理。

如果你把这些公式放在一起再进行比较，你还会有其他的疑问……